【題目】已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面DCC1D1內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC.則當(dāng)三棱錐P﹣BCD的體積最大時(shí)，三棱錐P﹣BCD的外接球的表面積為_____.

【答案】21π

【解析】

由題意得三角形相似，再借助函數(shù)求最大值，求出的位置在棱上，且時(shí)三棱錐的體積最大，然后由三棱錐為一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，它的外接球的球心是過底面外接圓的圓心做垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，而底面為直角三角形，所以底面外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且半徑為斜邊的一半，根據(jù)底面外接圓的半徑與球的半徑和三棱錐的高的一半構(gòu)成直角三角形，由題意求出外接球的半徑，求出外接球的表面積．

由題意得是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且滿足

，，及．

設(shè)，，，，

化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，

所以點(diǎn)在上，且時(shí)三棱錐的體積最大，

這時(shí)底面外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，球心為過垂直于底面的直線與中截面的交點(diǎn)，

則，底面半徑，設(shè)球的半徑，則，，

所以三棱錐的外接球的表面積為，

故答案為：．

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知橢圓：的離心率為，橢圓：經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：面積為定值.

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【題目】某綠色有機(jī)水果店中一款有機(jī)草莓味道鮮甜，店家每天以每斤元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)適量草莓，然后以每斤元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的草莓由果汁廠以每斤元的價(jià)格回收.

（1）若水果店一天購(gòu)進(jìn)斤草莓，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：斤，）的函數(shù)解析式；

（2）水果店記錄了天草莓的日需求量（單位：斤），整理得下表：

日需求量

14

15

16

17

18

19

20

頻數(shù)

14

22

14

16

15

13

6

①假設(shè)水果店在這天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)斤草莓，求這天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；

②若水果店一天購(gòu)進(jìn)斤草莓，以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.

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【題目】如圖，在四棱錐中， ， ∥，且 , ， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，且對(duì)恒成立，函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的圖像與函數(shù)的圖像恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 （ ）

A. B. C. D.

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【題目】兩圓(圓心,半徑),與(圓心,半徑)不是同心圓,方程相減(消去二次項(xiàng))得到的直線叫做圓 與圓的根軸;

(1)求證:當(dāng)與相交于A,B兩點(diǎn)時(shí),所在直線為根軸;

(2)對(duì)根軸上任意點(diǎn)P,求證:;

(3)設(shè)根軸與交于點(diǎn)H,,求證:H分的比;

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【題目】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)、兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品件和類產(chǎn)品件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品件和類產(chǎn)品件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)類產(chǎn)品件，類產(chǎn)品件，求所需租賃費(fèi)最少為多少元？

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【題目】已知橢圓（），以橢圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，設(shè)線段的中垂線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得， ， ， 在同一個(gè)圓上，并說明理由．

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