Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1及點P（1，$\frac{1}{2}$），過點P作直線l與橢圓C交于A、B兩點，過A、B兩點分別作C的切線交于點Q．
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）求△ABQ的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因為AQ與圓C相切，求得AQ的方程為$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，同理可得BQ的方程為$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，由直線都過點Q，即可得到所求軌跡方程；
（2）易得當(dāng)直線AB和Q的軌跡平行時，面積最小，求得兩直線的距離和弦長AB，由面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因為AQ與橢圓C相切，
對橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1兩邊對x取導(dǎo)數(shù)，可得x+2y•y′=0，
可得y′=-$\frac{x}{2y}$，即有AQ的方程為y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$（x-x₁），
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1，即有AQ的方程為$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，
同理可得BQ的方程為$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
由于AQ，BQ都過點Q，
所以過點A，B的直線方程為$\frac{{x}_{0}x}{2}$+y₀y=1，
因直線AB過點（1，$\frac{1}{2}$）．
所以代入得$\frac{1}{2}$x₀+$\frac{1}{2}$y₀=1，
所以點Q的軌跡方程為：x+y=2；
（2）可得當(dāng)直線AB和Q的軌跡平行時，面積最小，
設(shè)直線AB的方程為y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即有y=-x+$\frac{3}{2}$，
代入橢圓方程可得6x²-12x+5=0，
即有x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{5}{6}$，
則弦長AB=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{2}^{2}-\frac{20}{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由平行線的距離公式可得d=$\frac{|2-\frac{3}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
即有△ABQ的面積的最小值為$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點評 本題考查橢圓方程的應(yīng)用，考查直線和橢圓相切的條件，考查軌跡方程的求法，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．