Question

【題目】已知橢圓，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率與直線的斜率之積為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)、、在橢圓上，可得出關(guān)于、的方程組，解出和的值，即可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式并代入韋達(dá)定理，由已知條件可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而得解.

（1）由于、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過、兩點(diǎn)

易知橢圓不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，因此，解得，

因此，橢圓的方程為；

（2）由題意知直線的斜率不為，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，

設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為．

由，消去，得，

易知，得，，

．

當(dāng)，即時(shí)，為定值，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．