Question

【題目】已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的值域；

（Ⅲ）當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由函數(shù)為奇函數(shù)可得，即，可得．（Ⅱ）分離常數(shù)可得，故函數(shù)為增函數(shù)，再由，可得，即可得函數(shù)的值域．(Ⅲ)通過分離參數(shù)可得在時恒成立，令，則有，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值，從而可得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵是上的奇函數(shù)，

∴，

即.

整理可得．

（注：本題也可由解得，但要進行驗證）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，

∴，

∴．

∴函數(shù)的值域為．

（Ⅲ）當(dāng)時， ．

由題意得在時恒成立，

∴在時恒成立．

令，

則有，

∵當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)，

∴.

∴.

故實數(shù)的取值范圍為．