Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M，
（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線PC與平面ABM所成的角；
（3）求點O到平面ABM的距離．

Answer 1

分析：法一：（1）要證平面ABM⊥平面PCD，只需證明平面PCD內的直線PD，垂直平面PAD內的兩條相交直線BM、AB即可；
（ 2）平面ABM與PC交于點N，說明∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，然后解三角形，求直線PC與平面ABM所成的角；
（3）O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，說明|DM|就是D點到平面ABM距離，求解即可．
法二：建立空間直角坐標系，
（ 2）求出平面ABM的一個法向量，求出

PC

，然后求出sinα=|

PC • n

| PC || n |

|即可．
（3）利用向量的射影公式直接求h=|

AO • n

| n |

|即可

解答：解：方法（一）：
（1）證：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD
因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）設平面ABM與PC交于點N，
因為AB∥CD，所以AB∥平面PCD，則AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，
則MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCDtan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

所求角為arctan2

2

（3）因為O是BD的中點，
則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離
因為在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M為PD中點，DM=2

2

，
則O點到平面ABM的距離等于

2

．

方法二：
（1）同方法一；
（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
設平面ABM的一個法向量

n

=(x，y，z)，
由

n

⊥

AB

，

n

⊥

AM

可得：

2x=0 2y+2z=0

，
令z=-1，則y=1，即

n

=(0，1，-1)
設所求角為α，則sinα=|

PC • n

| PC || n |

|=

2 2

3

，
所求角的大小為arcsin

2 2

3

、
（3）設所求距離為h，由O(1，2，0)，

AO

=(1，2，0)，
得：h=|

AO • n

| n |

|=

2

點評：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面垂直的判定，三垂線定理，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．