Question

16．已知奇函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)f′（x）＜0在R恒成立，且x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的取值范圍是（　　）

• A． $[0，2\sqrt{2}]$
• B． $[0，\sqrt{2}]$
• C． [1，2]
• D． $[\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，導函數(shù)f′（x）＜0，由不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0即可得到不等式x²-2x≤2y-y²，從而得到（x-1）²+（y-1）²≤2，根據(jù)該不等式所表示的幾何意義即可求出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值和最大值，從而求得其取值范圍．

解答 解：因為函數(shù)y為奇函數(shù)，所以f（x²-2x）≥f（2y-y²）；
由函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)f'（x）＜0在R恒成立，知函數(shù)y=f（x）為減函數(shù)；
∴x²-2x≤2y-y²；
即∴（x-1）²+（y-1）²≤2；
∴滿足該不等式的點（x，y），在以（1，1）為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓及圓內(nèi)部；
∴點（x，y）到原點的最小距離為0，最大距離為2$\sqrt{2}$；
故$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的取值范圍是[0，$2\sqrt{2}$]．
故選：A．

點評 考查奇函數(shù)的概念，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，函數(shù)單調(diào)性定義的應用，以及圓的標準方程，能找出不等式所表示的平面區(qū)域．