(本小題滿分12分)

設橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為,過點垂直的直線交軸負半軸于點,且

(1)求橢圓的離心率;

(2)若過、、三點的圓恰好與直線相切,求橢圓

方程;

(3)在(2)的條件下,過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于、

點,在軸上是否存在點使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,

如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由.

 

【答案】

(1);(2);(3)

【解析】(1) 設Q(x0,0),由(c,0),A(0,b),知     

,由 ,可知中點.

從而得到,,進一步計算可求出記心率的值.

(2)由⑴知,可求出△AQF的外接圓圓心為(-,0),半徑r=|FQ|=,

所以再利用圓心到直線l的距離等于半徑a,可得到關于a的方程解出a值,從而得到橢圓C的方程.

(3) 設平行四邊形是菱形可轉(zhuǎn)化為, ,

所以,則,然后直線MN與橢圓方程聯(lián)立,消y,再借助韋達定理來解決即可.

解:(1)設Q(x0,0),由(c,0),A(0,b)

      

,

由于 即中點.

,  

故橢圓的離心率              (3 分)    

(2)由⑴知于是,0) Q

△AQF的外接圓圓心為(-,0),半徑r=|FQ|=

所以,解得=2,∴c =1,b=, 

所求橢圓方程為            (6 分)  

(3)由(Ⅱ)知     

   代入得

,

              (8分)

由于菱形對角線垂直,則                  

       

        (10分)

由已知條件知          

    

故存在滿足題意的點P且的取值范圍是.     (12 分)

 

練習冊系列答案
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3
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,
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ON
|=6,
ON
=
5
OM
.過點M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點N1,
OT
=
M1M
+
N1N
,記點T的軌跡為曲線C.
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(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(其中點P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
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