Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h，
（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大��；
（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；
（Ⅲ）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V_估=S_中截面·h來計(jì)算。已知它的體積公式是 V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明。
（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

Answer 1

（Ⅰ）解：過B1C1作底面ABCD的垂直平面， 交底面于PQ，過B1作B1G⊥PQ，垂足為G， ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P， ∴∠B1PG為所求二面角的平面角， 過C1作C1H⊥PQ，垂足為H， 由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等， 故四邊形B1PQC1為等腰梯形， ∴， 又， ∴， ∴， 即所求二面角的大小為。 （Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊， 有AB∥CD， 又CD是面ABCD與面CDEF的交線， ∴AB∥面CDEF， ∵EF是面ABFE與面CDEF的交線， ∴AB∥EF， ∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD。 （Ⅲ）V估＜V； 證明：∵a＞c，b＞d， ∴ ， ∴V估＜V。