集合M是具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:對任意的s>0,t>0,都有f(s)>0,f(t)>0,且f(s)+f(t)<f(s+t).
(1)試判斷函數(shù)f1(x)=log2(x+1),f2(x)=2x-1是否屬于M;
(2)證明:對任意的x>0,x+m>0(m∈R,m≠0),m[f(x+m)-f(x)]>0;
(3)證明:對于任意給定的正數(shù)ε>0,總存在正數(shù)δ>0,當(dāng)x∈(0,δ]時,f(x)<ε.
解:(1)對于函數(shù)f1(x)=log2(x+1),f1(s)+f1(t)=log2(s+1)+log2(t+1)=log2(s+1)(t+1)=log2(st+s+t+1)>f1(s+t),故函數(shù)f1(x)=log2(x+1)不屬于M;
對于函數(shù)f2(x)=2x-1,f2(s)+f2(t)-f2(s+t)=2s-1+2t-1-2s+t+1=(2s-1)(1-2t),
∵s>0,t>0,∴f2(s)+f2(t)-f2(s+t)<0,故函數(shù)f2(x)=2x-1屬于M;
(2)證明:令x+m=s,x=t,則s>0,t>0,不妨設(shè)s>t>0,則有f(s)-f(t)>f(s-t)>0.從而有(s-t)[f(s)-f(t)]>0,故結(jié)論成立;
(3)由(2)知,函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),所以有總存在正數(shù)δ>0,當(dāng)x∈(0,δ]時,f(x)≤f(δ)<ε.
分析:(1)對于函數(shù)f1(x)=log2(x+1),直接代入驗證,對于函數(shù)f2(x)=2x-1,通過f2(s)+f2(t)-f2(s+t)驗證;(2)令x+m=s,x=t,則s>0,t>0,不妨設(shè)s>t>0,則有f(s)-f(t)>f(s-t)>0,從而結(jié)論成立;
(3)利用(2)的結(jié)論:函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),即可證得.
點評:本題考查新定義,求解的關(guān)鍵是,認(rèn)識新定義反映出的本質(zhì),充分利用好所給的性質(zhì),屬于中檔題.