Question

（本小題滿分14分）

　 如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，，交于點(diǎn)，平面，，．

（1）證明：；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（法一）（1）平面平面， ．……………1分

又，

平面

而平面

．  ………………………………………3分

是圓的直徑，．

又，

．

平面，，

平面．

 

與都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理證得）．………………………………5分

，     平面．

而平面，

．  ………………………………………………………………………………6分

（2）延長交于，連，過作，連結(jié)．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

為平面與平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

 

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，則．    ………………………………11分

是等腰直角三角形，．

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．　 ………………………12分

（法二）（1）同法一，得．             ………………………3分

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由已知條件得，

 

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

設(shè)平面的法向量為，

由 得，

令得，，             …………………………9分

由已知平面，所以取面的法向量為，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

則， …………………………11分

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．  ……………………12分

【說明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．