Question

17．已知關(guān)于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程組，解方程組可得；
（Ⅱ）原式=$\sqrt{-3t+12}$+$\sqrt{t}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{t}$，由柯西不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）關(guān)于x的不等式|x+a|＜b可化為-b-a＜x＜b-a，
又∵原不等式的解集為{x|2＜x＜4}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-b-a=2}\\{b-a=4}\end{array}\right.$，解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$=$\sqrt{-3t+12}$+$\sqrt{t}$
=$\sqrt{3}$$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{t}$≤$\sqrt{[（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}][（\sqrt{4-t}）^{2}+（\sqrt{t}）^{2}]}$
=2$\sqrt{4-t+t}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{t}}{1}$即t=1時取等號，
∴所求最大值為4

點評 本題考查不等關(guān)系與不等式，涉及柯西不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．