Question

函數(shù)f（x）=x²-2x+2在閉區(qū)間[a，a+1]（a∈R）的最大值記為g（a）．
（1）試寫(xiě)出g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若g（a）≥5，求出a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（x-1）²+1．
①當(dāng)a+1≤1，即a≤0時(shí)，g（a）=a²-2a+2；
②當(dāng)，即時(shí)，g（a）=a²-2a+2；
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，g（a）=a²+1；
④當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）=a²+1．
綜上：…（6分）
（2）當(dāng)a²-2a+2≥5，解得a≥3或a≤-1，
∵，∴a≤-1；
當(dāng)a²+1≥5，解得a≥2或a≤-2，
∵，∴a≥2．
綜上：a的取值范圍是a≤-1或a≥2． …（12分）
分析：（1）配方可得f（x）=（x-1）²+1，確定對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求得g（a）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由（1）的分段函數(shù)，結(jié)合變量的范圍，即可求得a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用配方法求函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查解不等式，利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．