Question

3．對于函數(shù)f（x）與g（x），如果對任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱f（x）與g（x）是區(qū)間D上的“親密函數(shù)”．設(shè)函數(shù)f（x）=log₄（x-m），g（x）=log₄$\frac{1}{x-3m}$，區(qū)間D為[m+2，m+3]．
（1）若f（x）與g（x）在區(qū)間[m+2，m+3]上都有意義，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）若f（x）與g（x）是區(qū)間[m+2，m+3]上的“親密函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x-m＞0\\ \frac{1}{x-3m}＞0\end{array}\right.$知，當m≥0時，x＞3m；當m＜0時，x＞m，分類討論可得若f（x）與g（x）在區(qū)間[m+2，m+3]上都有意義，的實數(shù)m的取值范圍．
（2）若f（x）與g（x）是區(qū)間[m+2，m+3]上的“親密函數(shù)”，則|f（x）-g（x）|≤1成立，即|log₄（x-m）-log₄$\frac{1}{x-3m}$|≤1成立，結(jié)合（1）及對數(shù)運算性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-m＞0\\ \frac{1}{x-3m}＞0\end{array}\right.$知，
當m≥0時，x＞3m；當m＜0時，x＞m，
若f（x）與g（x）在區(qū)間[m+2，m+3]上都有意義，
則m≥0時，m+2＞3m，解得：0≤m＜1；
當m＜0時，m+2＞m，解得：m＜0；
綜上所述：m＜1．
（2）若f（x）與g（x）是區(qū)間[m+2，m+3]上的“親密函數(shù)”，
則|f（x）-g（x）|≤1成立，即|log₄（x-m）-log₄$\frac{1}{x-3m}$|≤1成立，
即|log₄（x-m）（x-3m）|≤1成立，
即$\frac{1}{4}$≤（x-m）（x-3m）≤4成立，
令h（x）=（x-m）（x-3m）=（x-2m）²-m²，x∈[m+2，m+3]，
則由（1）知函數(shù)的圖象是開口朝上，且以x=2m＜m+2為對稱軸的拋物線，
故h（x）在[m+2，m+3]上為增函數(shù)，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}≤h（m+2）=4-4m\\ 4≥h（m+3）=9-6m\end{array}\right.$，
解得：m∈[$\frac{5}{6}$，$\frac{15}{16}$]

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．