Question

已知圓0：x²+y²=1和直線l：y=2x+b交于A、B兩點，若A、B分別在角α、β的終邊上，則sin（α+β）=

-

4

5

．

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于A、B分別在角α、β的終邊上，可得sinα=y₁，cosα=x₁，sinβ=y₂，cosβ=x₂．聯(lián)立

y=2x+b x2+y2=1

，得到根與系數(shù)的關(guān)系，又sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=y₁x₂+y₂x₁=（2x₁+b）x₂+（2x₂+b）x₁=4x₁x₂+b（x₁+x₂），代入即可．

解答：解：如圖所示，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵A、B分別在角α、β的終邊上，∴sinα=y₁，cosα=x₁，sinβ=y₂，cosβ=x₂．
聯(lián)立

y=2x+b x2+y2=1

，5x²4bx+b²-1=0．
∴x1+x2=-

4b

5

，x1x2=

b2-1

5

．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=y₁x₂+y₂x₁=（2x₁+b）x₂+（2x₂+b）x₁=4x₁x₂+b（x₁+x₂）=

4(b2-1)

5

-

4b2

5

=-

4

5

．
故答案為-

4

5

．

點評：熟練掌握兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的定義、直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)等是解題的關(guān)鍵．