Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O，E分別為B₁D，AB的中點．
（1）求證：OE∥平面BCC₁B₁；
（2）求證：OE⊥面B₁DC．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，設BC₁∩B₁C=F，連接OF，由于O，F分別是B₁D與B₁C的中點，利用三角形中位線定理可得，即四邊形OEBF是平行四邊形，可得OE∥BF，再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）由DC⊥面BCC₁B₁，可得BC₁⊥DC，又可得BC₁⊥面B₁DC，而BC₁∥OE，即可證明．

解答 證明：（1）連接BC₁，設BC₁∩B₁C=F，連接OF，
∵O，F分別是B₁D與B₁C的中點，
∴OF∥DC，
又E為AB中點，∴EB∥DC，
∴四邊形OEBF是平行四邊形，
∴OE∥BF，
又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，
∴OE∥面BCC₁B₁．
（2）∵DC⊥面BCC₁B₁，BC₁?面BCC₁B₁，
∴BC₁⊥DC，
又BC₁⊥B₁C，且DC，B₁C?面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥面B₁DC，
而BC₁∥OE，∴OE⊥面B₁DC．

點評 本題考查了空間線面位置關系、三角形中位線定理、平行四邊形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．