Question

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求二面角的正切值；
（2）求直線到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使異面直線與所成的角為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）不存在.

試題分析：（1）根據(jù)四面體的體積及底面積可求出.，為中點(diǎn)，所以，這樣可得為二面角的平面角.在中即可求得其正切值.
（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角.（3）存在性的問題，一般都通過建系來求.dsgjghmk兩兩垂直，故可分別以為軸建立坐標(biāo)系.
假設(shè)存在且設(shè)
然后用向量的夾角公式求y,如果能求出滿足條件的y則存在，若不能求出滿足條件的y，則不存在.
試題解析：（1）由四面體的體積為.∴
設(shè)二面角的大小為為中點(diǎn)，
∴同理∴
∴                    3分
（2）由
∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長線于K,
∴
由平面幾何知識(shí)可知： ，.設(shè)直線與平面所成角為
∴                      8分
（法二：建系）
（3）兩兩垂直，分別以為軸建立坐標(biāo)系
假設(shè)存在且設(shè)
∴又直線與所成的角為
∴化簡(jiǎn)得：
不滿足
∴這樣的點(diǎn)不存在                        12分