探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
  x∈(0,+∞)的最小值,并確定相應(yīng)的x的值,列表如下,請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成下列問題:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57
(1)若當(dāng)x>0時,函數(shù)f(x)=x+
4
x
時,在區(qū)間(0,2)上遞減,則在
 
上遞增;
(2)當(dāng)x=
 
時,f(x)=x+
4
x
,x>0的最小值為
 

(3)試用定義證明f(x)=x+
4
x
,x>0在區(qū)間上(0,2)遞減;
(4)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x<0有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?
解題說明:(1)(2)兩題的結(jié)果直接填寫在答題卷中橫線上;(4)題直接回答,不需證明.
分析:(1)由表中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由表中的數(shù)據(jù)可以得出函數(shù)的最值;
(3)用定義法證明單調(diào)性,可先取任意的x1,x2∈(0,2),且x1<x2,再研究f(x1)-f(x2)的差的符號,由定義得出函數(shù)的單調(diào)性;
(4)由于函數(shù)是一個奇函數(shù),故可由函數(shù)的對稱性得出答案.
解答:解:(1)若函數(shù)f(x)=x+
4
x
  x∈(0,+∞)時,在區(qū)間(0,2)上遞減,則在(2,+∞) 上遞增;
(2)當(dāng)x=2 時,f(x)=x+
4
x
  x∈(0,+∞)的最小值為4;---(4分)
(3)設(shè)任意的x1,x2∈(0,2),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)
=(x1-x2)(
x1x2-4
x1x2
)
-----(10分)
∵x1,x2∈(0,2),且x1<x2,∴0<x1x2<4,x1-x2<0,∴x1x2-4<0
∴f(x1)-f(x2)>0f(x1)>f(x2),即
∴f(x)=x+
4
x
  在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減---------------(12分)
(4)函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x<0有最大值,當(dāng)x=-2時,最大值是-4----(14分)
點評:本意考查函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)的單調(diào)性的證明的方法--定義法,解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性的證明方法與函數(shù)的奇偶性的判斷方法,熟練掌握一些基本函數(shù)的性質(zhì)有利于快速解答本題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
(1)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減,函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
 
上遞增;
(2)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
,當(dāng)x=
 
時,y最小=
 
;
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察下列表格,探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的性質(zhì),
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
(1)請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間(0,2)上遞減;
函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x>0)
在區(qū)間
(2,+∞)
(2,+∞)
上遞增.
當(dāng)x=
2
2
時,y最小=
4
4

(2)證明:函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間(0,2)遞減.
(3)函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x<0)
時,有最值嗎?是最大值還是最小值?此時x為何值?(直接回答結(jié)果,不需證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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