Question

1．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=x_n²+x_n，x₁=a（a≠1），數(shù)列{y_n}滿足y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$，設(shè)p_n=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，S_n為{y_n}的前n項(xiàng)和，求證：aS_n+p_n=1．

Answer 1

分析 通過對y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$的變形及分離分母，可得y_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，并項(xiàng)相加即可．

解答 解：∵x_n+1=x_n²+x_n，
∴y_n=$\frac{1}{{x}_{n}+1}$
=$\frac{{x}_{n}}{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$
=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n+1}}$
=$\frac{{{x}_{n}}^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$
=$\frac{{x}_{n+1}-{x}_{n}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴S_n=y₁+y₂+…+y_n
=$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴aS_n=a（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）=1-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，
∴aS_n=1-P_n，
∴aS_n+p_n=1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，對表達(dá)式的靈活變形及并項(xiàng)相加法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．