Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-4），且與直線l：x+3y-26=0相切于點(diǎn)B（8，6）的圓的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：法一：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，圓心C（

D

2

，

E

2

）．由此能求出圓的方程．
法二：設(shè)圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為y-6=3（x-8），AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），AB的垂直平分線的方程為y-1=-（x-3），由此能求出圓的方程．

解答： 解法一：設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則圓心C（

D

2

，

E

2

）．∴k_CB=

6- E 2

8- D 2

，由k_CB•k_l=-1，得

6- E 2

8- D 2

•

1

3

=-1，①
又有（-2）²+（-4）²-2D-4E+F=0，②
8²+6²+8D+6E+F=0．③
由①②③聯(lián)立可得D=-11，E=3，F=-30．
∴圓的方程為x²+y²-11x+3y-30=0．

即：(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．
解法二：設(shè)圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為y-6=3（x-8），
即3x-y-18=0．①
由于A（-2，-4）、B（8，6），則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），又k_AB=

64

82

=1，
∴AB的垂直平分線的方程為y-1=-（x-3），
即x+y-4=0②
由①②聯(lián)立后，可解得

x= 11 2 y= 3 2

，．
即圓心的坐標(biāo)為（

11

2

，

3

2

_），
∴所求圓的半徑r=

( 11 2 -8)2+( 3 2 -6)2

=

125 2

，．
∴所求圓的方程為(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．
故答案為：(x-

11

2

)2+(y+

3

2

)2=

125

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．