Question

學校在高二開設了當代戰(zhàn)爭風云、投資理財、汽車模擬駕駛與保養(yǎng)、硬筆書法共4門選修課，每個學生必須且只需選修1門選修課，對于該年級的甲、乙、丙3名學生．
（Ⅰ）求這3名學生選擇的選修課互不相同的概率；
（Ⅱ）求恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率；
（Ⅲ）求投資理財選修課被這3名學生選擇的人數的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）這3名學生選擇的選修課的基本事件總數n=4³，這3名學生選擇的選修課互不相同包含的基本事件個數m=

A

3 4

，由此能求出這3名學生選擇的選修課互不相同的概率．
（Ⅱ）這3名學生選擇的選修課的基本事件總數n=4³，恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇包含的基本事件個數m=

C

2 4

(23-2)，由此能求出恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率．
（Ⅲ）設投資理財選修課被這3名學生選擇的人數為ζ，則ζ═0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出投資理財選修課被這3名學生選擇的人數的數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）這3名學生選擇的選修課的基本事件總數n=4³，
這3名學生選擇的選修課互不相同包含的基本事件個數m=

A

3 4

，
∴這3名學生選擇的選修課互不相同的概率p₁=

A 3 4

43

=

3

8

．
（Ⅱ）這3名學生選擇的選修課的基本事件總數n=4³，
恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇包含的基本事件個數m=

C

2 4

(23-2)，
∴恰有2門選修課沒有被這3名學生選擇的概率p₂=

C 2 4 (23-2)

43

=

9

16

．
（Ⅲ）設投資理財選修課被這3名學生選擇的人數為ζ，則ζ═0，1，2，3，
P（ζ=0）=

33

43

=

27

64

，
P（ζ=1）=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P（ζ=2）=

3• C 1 3

43

=

9

64

，
P（ζ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

．（11分）
X的分布列為

ζ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．