Question

8．函數(shù)f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4為奇函數(shù)的充要條件是（　�。�

• A． a=4
• B． a=-1
• C． a=4或a=-1
• D． a∈R

Answer 1

分析 根據(jù)充要條件的定義結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即（a+1）tan²x-3sinx+a²-3a-4=-[（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4]，
即（a+1）tan²x+a²-3a-4=-（a+1）tan²x-（a²-3a-4），
則$\left\{\begin{array}{l}{a+1=-（a+1）}\\{{a}^{2}-3a-4=-（{a}^{2}-3a-4）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+1=0}\\{{a}^{2}-3a-4=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{a=4或a=-1}\end{array}\right.$，
則a=-1，
當(dāng)a=-1時，f（x）=3sinx為奇函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=（a+1）tan²x+3sinx+a²-3a-4為奇函數(shù)的充要條件是a=-1，
故選：B

點評 本題主要考查充要條件的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．