Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-

π

6

）（ω＞0）相鄰兩個對稱軸之間的距離是號，且滿足，f（

π

4

）=

3

．
（I）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在鈍角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，sinB=

3

sinC，a=2，f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求得函數(shù)的最小周期，進(jìn)而利用周期公式求得ω，根據(jù)f（

π

4

）=

3

求得A，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得其單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦定理把已知等式的角轉(zhuǎn)化成邊，進(jìn)而求得sin（2A-

π

6

），進(jìn)而求得A，最后利用余弦定理求得b和c，利用面積公式求得三角形面積．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知周期T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∵f(

π

4

)=

3

，
∴A=2，
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)，
∵

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，(k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)減，
即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，(k∈Z)時，函數(shù)單調(diào)減，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]，(k∈Z)．
（Ⅱ）∵sinB=

3

sinC，
∴由正弦定理知b=

3

c，
∵f(A)=2sin(2A-

π

6

)=1，
∴sin(2A-

π

6

)=

1

2

，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴A=

π

6

或

π

2

，
因?yàn)椤鰽BC為鈍角三角形，所以

π

2

舍去，故A=

π

6

，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=3c2+c2-2

3

c2×

3

2

=c2，
∴c=2，b=2

3

，S△ABC=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．考查了基礎(chǔ)知識綜合運(yùn)用．