Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=

2

，BD⊥CD．將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論：
①A′C⊥BD；     
②CA′與平面A′BD所成的角為30°；
③∠BA′C=90°；    
④四面體A′-BCD的體積為

1

3

．
其中正確的有（　�。�

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析命題：對(duì)于①可利用反證法說明真假，若①成立可得BD⊥A'D，產(chǎn)生矛盾；對(duì)于②由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知②的真假；對(duì)于③△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根據(jù)線面垂直可知∠BA′C=90°，對(duì)于④利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．

解答：解：若①成立可得BD⊥A'D，產(chǎn)生矛盾，故①不正確；
由CA'與平面A'BD所成的角為∠CA'D=45°知②不正確；
由題設(shè)知：△BA'D為等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是③正確；
VA′-BCD=VC-A′BD=

1

6

，④不正確．
其中正確的有1個(gè)
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，同時(shí)考查了空間想象能力，論證推理能力，解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．