Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求當(dāng)a=3時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），并將其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，由f′（x）＜0，得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）方法1：由，得f'（x）=-x²+ax-2，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，令h（x）=x²-ax+2a，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等關(guān)系，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
方法2：由，得f'（x）=-x²+ax-2，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．下面利用導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)性和最大值，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）先將過(guò)點(diǎn)可作曲線y=f（x）的三條切線轉(zhuǎn)化為：方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，下面利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，從而求得a的范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，，得f'（x）=-x²+3x-2．…（1分）
因?yàn)閒'（x）=-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由，得f'（x）=-x²+ax-2，
因?yàn)閷?duì)于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有-x²+ax-2＜2（a-1）成立，
即對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有x²-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x²-ax+2a，
要使對(duì)任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必須滿足△＜0或…（5分）
即a²-8a＜0或…（6分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，8）．…（7分）
方法2：由，得f'（x）=-x²+ax-2，
因?yàn)閷?duì)于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]_max＜2（a-1）．…（4分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185436751196509/SYS201310241854367511965020_DA/9.png">，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為．
①當(dāng)時(shí)，即a＜2時(shí)，f'（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以f'（x）_max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此時(shí)-1＜a＜2．…（5分）
②當(dāng)時(shí)，即a≥2時(shí)，f'（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，得0＜a＜8，此時(shí)2≤a＜8．…（6分）
綜上①②可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，8）．…（7分）
（3）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）圖象上的切點(diǎn)，
則過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率為k=f'（t）=-t²+at-2，…（8分）
所以過(guò)點(diǎn)P的切線方程為．…（9分）
因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，
所以，
即．…（10分）
若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，
則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．…（11分）
令，則函數(shù)y=g（t）與t軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
令g'（t）=2t²-at=0，解得t=0或．…（12分）
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185436751196509/SYS201310241854367511965020_DA/26.png">，，
所以必須，即a＞2．…（13分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2，+∞）．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法、函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．