Question

已知雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，它的漸近線過橢圓

x2

4

+

y2

16

=1和橢圓

ax2

16

+

y2

4

=1（0＜a≤1）的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，求出兩橢圓的交點(diǎn)，代入漸近線方程，化簡(jiǎn)整理，再由離心率公式，得到關(guān)于a的式子，由a的范圍，即可求得e的范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為y=±

b

a

x，
由橢圓

x2

4

+

y2

16

=1和橢圓

ax2

16

+

y2

4

=1，解得，
x²=

48

16-a

，y²=

16(4-a)

16-a

．
由于漸近線過兩橢圓的交點(diǎn)，即有

16(4-a)

16-a

=

b2

a2

•

48

16-a

，
化簡(jiǎn)可得，b²=

a2(4-a)

3

，
由于e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

4-a

3

=

7-a

3

，
由0＜a≤1，則2≤e²＜

7

3

，
則有

2

≤e＜

21

3

．
故答案為：[

2

，

21

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的取值范圍，考查化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題．