Question

3．在△ABC中，A=2B，且3sinC=5sinB，則cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及兩角和正弦函數(shù)公式，倍角公式可得sinC=2sinBcos²B+（2cos²B-1）sinB，結(jié)合已知可得6cos²B+3（2cos²B-1）=5，即可解得cosB的值．

解答 解：∵A=2B，A+B+C=π，可得：C=π-3B，
∴sinC=sin3B=sin（2B+B）=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos²B+（2cos²B-1）sinB，
∵3sinC=5sinB，
∴6sinBcos²B+3（2cos²B-1）sinB=5sinB，
∵sinB≠0，
∴解得：6cos²B+3（2cos²B-1）=5，解得：cos²B=$\frac{2}{3}$，
∵A=2B，B為銳角，
∴cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了一元二次方程的解法，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．