Question

5．從8男4女中選出5名學(xué)生代表，按下列條件各有多少種選法：
（1）至少有一名女同學(xué)；
（2）至少有兩名女同學(xué)，但女甲和女乙有且只有一人當選；
（3）至多有兩名女同學(xué)；
（4）女生甲、乙都不當選；
（5）必須有女同學(xué)當選，但不得超過女同學(xué)的半數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用間接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{8}^{5}$=736種選法；
（2）分為兩類：兩名女同學(xué)，3名女同學(xué)，但女甲和女乙有且只有一人當選；
（3）至多有兩名女同學(xué)，分為三類：沒有女同學(xué)，有1名女同學(xué)，2名女同學(xué)；
（4）女生甲、乙都不當選，利用間接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{2}^{2}{C}_{10}^{3}$=672種選法；
（5）必須有女同學(xué)當選，但不得超過女同學(xué)的半數(shù)，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=616種選法．

解答 解：（1）利用間接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{8}^{5}$=736種選法；
（2）分為兩類：兩名女同學(xué)，但女甲和女乙有且只有一人當選，有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$${C}_{8}^{3}$種選法；3名女同學(xué)，但女甲和女乙有且只有一人當選，有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{3}$種選法，共有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$${C}_{8}^{3}$+${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{3}$=280種選法；
（3）至多有兩名女同學(xué)，分為三類：沒有女同學(xué)，有${C}_{8}^{5}$種選法，1名女同學(xué)，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}$種選法，2名女同學(xué)，有${C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$種選法，共有${C}_{8}^{5}$+${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}$+${C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=672種選法；
（4）女生甲、乙都不當選，利用間接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{2}^{2}{C}_{10}^{3}$=672種選法；
（5）必須有女同學(xué)當選，但不得超過女同學(xué)的半數(shù)，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=616種選法．

點評 本題考查計數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查間接法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．