Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，且當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最小值為2．
（1）求a的值，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的

1

2

，再將所得圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=4在區(qū)間[0，

π

2

]上所有根之和．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，由題意易得-1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)區(qū)間；
（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+3，可得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，解方程可得x=

π

12

或x=

π

4

，相加即可．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）的最小值為-1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；

（2）由函數(shù)圖象變換可得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+3，
由g（x）=4可得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，
∴4x-

π

6

=2kπ+

π

6

或4x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，
解得x=

kπ

2

+

π

12

或x=

kπ

2

+

π

4

，（k∈Z），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x=

π

12

或x=

π

4

，
∴所有根之和為

π

12

+

π

4

=

π

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)和差角的公式和三角函數(shù)圖象的變換，屬中檔題．