Question

已知a是正常數(shù)，函數(shù)f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna，（x＞0）．
（1）若f′（1）=g′（

1

2

），求a的值；
（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間A，求區(qū)間A．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意列出方程解得即可；
（2）由題意列出方程組，求交集即可得出結(jié)論，主要對(duì)a的分類討論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=a-

4

a

-（4x+

1

x

）lna，
∴f′（x）=1+

4

x2

-

4a+ 1 a

x

，g′（x）=-4lna+

lna

x2

，
∵f′（1）=g′（

1

2

），
∴1+4-4a-

1

a

=-4lna+4lna，
即5-4a-

1

a

=0，解得a=1或a=

1

4

．
（2）f′（x）=1+

4

x2

-

4a+ 1 a

x

≤0，g′（x）=-4lna+

lna

x2

≤0，
∵x＞0
所以不等式組化為：
x+

4

x

≤

4a+1

a

，lna≤

4x2

lna

，
∵

4a+1

a

≥x+

4

x

≥4，
∴a＞0
1）a=1，g'（x）=0，g（x）是常數(shù)函數(shù)，不符合單調(diào)遞減
2）0＜a＜1，lna＜0
所以：4x²≤1，0＜x＜

1

2

對(duì)于x+

4

x

在x=

4

x

即x=2時(shí)取得最小值4，在（0，

1

2

）上是單調(diào)遞減
x+

4

x

＞

1

2

+8=

17

2

所以：

4a+1

a

＞

17

2

∴0＜a＜

1

2

3）a＞1，lna＞0
∴4x²＞1，x＞

1

2

x+

4

x

≥4
∴

4a+1

a

＞4
故：a＞1并且a≠2
綜上所述，0＜a＜

1

2

或1＜a＜2或a＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于難題．