已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且任意兩點(diǎn)間的球面距離為數(shù)學(xué)公式，則OA與平面ABC所成角的正切值是________．


分析：由已知任意兩點(diǎn)間的球面距離為，我們可以得到AO⊥面BOC，求出三棱錐O-ABC的體積及三角形ABC的面積，即可求出球心O到平面ABC的距離，進(jìn)而可求OA與平面ABC所成角的正弦值，由此可得結(jié)論．
解答：由題意，∵球O的表面積為4π，
∴球的半徑為1，
∵任意兩點(diǎn)間的球面距離為，
∴∠AOC=，∠AOB=，∠AOC=，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=BC=．
∵
又 （h為O到平面ABC的距離）
∵∴
∴OA與平面ABC所成角的正弦值為
∴OA與平面ABC所成角的正切值為
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題以球?yàn)檩d體，考查球面距離，考查線面角，有一定的綜合性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且任意兩點(diǎn)間的球面距離為
π
2
，則OA與平面ABC所成角的正切值是
2
2
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是
π
2
，
π
2
，
π
3
，則OB與平面ABC所成的角是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•甘肅一模）（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為
π
2
，|BC|=
3
，則球心O到平面ABC的距離為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年甘肅省高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：選擇題

（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為，，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：月考題 題型：單選題

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且A與B、A與C，B與C兩點(diǎn)的球面距離分別是，，則OB與平面ABC所成的角是
[     ]
A．
B．
C．
D．

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