Question

已知函數f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g(x)=

k

x

-1，當關于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個根時，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次不等式和一元二次函數之間的關系可得2，4是二次函數f（x）的兩個零點故可設f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）而f（x）圖象的對稱軸為x=3∈[0，4]可得出f（x）在[0，4]上的單調性就可求出f（x）在[0，4]上的最大值然后再結合條件f（x）在[0，4]上的最大值是8即可求出a的值．
（2）由（1）可得f（x）=g（x）有且只有一個根即x³-6x²+9x-k=0（x≠0）只有一個根令F（x）=x³-6x²+9x（x∈R），y=k則問題轉化為函數F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k
有且只有一個交點而解決此類問題的常用方法是根據導數判斷出F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）的單調性再求出其極值就可作出其大致圖象然后移動y=k使得函數F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個交點的k的取值范圍即為所求．

解答：解：（1）∵函數f（x）是二次函數，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可設f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）圖象的對稱軸為x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x²-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等變形為x³-6x²+9x-k=0（x≠0）
設F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）
則F′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當x∈（-∞，1）∪（3，+∞）時，F'（x）＞0
  當x∈（1，3）時，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調遞增，在（1，3）上遞減
∴當x=1時，F（x）取得極大值4
  當x=3時，F（x）取得極小值0      
又∵F（0）=0
∴當方程x³-6x²+9x-k=0（x≠0）有且只有一個根時k≤0或k＞4

點評：本題主要考察了一元二次函數解析式的求解和利用導數再結合數形結合的思想解方程．解題的關鍵是第一問需利用一元二次不等式和一元二次函數之間的關系可得2，4是二次函數f（x）的兩個零點故可根據一元二次函數的兩點式將f（x）設為f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0），而對于第二問的求解關鍵是關于x的方程f（x）=g（x）有且只有一個根轉化為函數F（x）=x³-6x²+9x（x∈R）與y=k有且只有一個交點（對于此類問題的求解常借助于導數判斷單調性然后利用“數形結合”的思想求解）！