Question

【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為 = ，求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于直線l的方程是mx﹣y+1﹣m=0，即 y﹣1=m（x﹣1），經(jīng)過定點(diǎn)H（1，1），

而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑 ，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，

故直線和圓恒有兩個交點(diǎn)

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，

∴1﹣x1= （x2﹣1），化簡的x2=3﹣2x1…①

又由直線代入圓的方程，消去y得：（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）

∴x1+x2= …②

由①②解得x1= 代入（*）式解得m=±1，

∴直線l的方程為x﹣y=0或x+y﹣2=0

【解析】（1）根據(jù)直線l的方程可得直線經(jīng)過定點(diǎn)H（1，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，命題得證．（2）把線段的長度比轉(zhuǎn)化為兩個向量的關(guān)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系，聯(lián)立直線與圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，求出其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后再代入關(guān)于x的方程得到關(guān)于m的方程，求解得到m的值，則直線方程可求．