若(ax+2b)6的展開(kāi)式中x3與x4的系數(shù)之比為4:3,其中a>0,b≠0
(1)當(dāng)a=1時(shí),求(ax+2b)6的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)令F(a,b)=
b3+16a
,求F(a,b)的最小值.
分析:(1)由二項(xiàng)式定理可得(ax+2b)6的展開(kāi)式中含x3與含x4的項(xiàng)的系數(shù),由已知可得得a=2b,把a(bǔ)=1代入,由二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)可得答案;
(2)可得F(a,b)=
b3+16
a
=
b2
2
+
8
b
,構(gòu)造函數(shù)F(x)=
x2
2
+
8
x
,x>0,利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的最值,進(jìn)而可得答案.
解答:解:(1)(ax+2b)6的展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)為
C
3
6
(ax)3(2b)3
,
故其系數(shù)為8
C
3
6
a3b3
=160a3b3,
含x4的項(xiàng)為
C
4
6
(ax)4(2b)2
,系數(shù)為4
C
4
6
a4b2
=60a4b2,
故可得
160a3b3
60a4b2
=
4
3
,解得a=2b,
所以當(dāng)a=1時(shí),(ax+2b)6=(x+1)6展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為:
T4=
C
3
6
x3
=20x3
(2)由a=2b>0,F(a,b)=
b3+16
a
=
b2
2
+
8
b
,
構(gòu)造函數(shù)F(x)=
x2
2
+
8
x
,x>0
求導(dǎo)數(shù)可得F′(x)=x-
8
x2

令F′(x)>0,可解得x>2,令F′(x)<0,可解得0<x<2,
故函數(shù)F(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增,
故可得F(a,b)的最小值為F(2)=6
點(diǎn)評(píng):本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間的最值,屬中檔題.
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(2)令F(a,b)=
b3+16
a
,求F(a,b)的最小值.

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在(ax-1)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中,若中間項(xiàng)的系數(shù)是160,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.2
B.
C.
D.-2

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(1)當(dāng)a=1時(shí),求(ax+2b)6的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);
(2)令,求F(a,b)的最小值.

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