Question

已知：函數f（x）=psinωx•cosωx-cos²ωx（p＞0，ω＞0）的最大值為

1

2

，最小正周期為

π

2

．
（1）求：p，ω的值，f（x）的解析式；
（2）若△ABC的三條邊為a，b，c，滿足a²=bc，a邊所對的角為A．求：角A的取值范圍及函數f（A）的值域．

Answer 1

分析：（1）化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過最大值和周期，求出p和ω，得到函數的解析式．
（2）利用余弦定理和基本不等式，求出cosA的最小值，確定A的范圍，然后利用正弦函數的值域，求出函數f（A）的值域．

解答：解：（1）f(x)=

p

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=

p2+1

2

sin(2ωx-arctan

1

p

)-

1

2

，
由

2π

2ω

=

π

2

，得ω=2（2分）
由

p2+1

2

-

1

2

=

1

2

及p＞0，得p=

3

（4分）∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

（6分）
（2）cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

．（8分）
A為三角形內角，所以0＜A≤

π

3

（10分）
∴-

π

6

＜4A-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(4A-

π

6

)≤1，∴-1≤f(A)≤

1

2

（14分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，解三角形的有關知識，余弦定理的應用，注意解答范圍和三角函數的值域的關系，考查計算能力．