Question

8．已知二次函數(shù)f（x）同時(shí)滿足；①f（x+1）-f（x）=2x；②x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立；③當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤2^x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），進(jìn)一步利用條件求的解析式．
（2）分離參數(shù)，得到m＜x²-3x+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最值即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x
a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x
解得：a=1  b=-1，
∵x∈R，恒有f（x）≥x²-x+1成立，
∴x²-x+c≥x²-x+1，
∴c≥1，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤2^x．
∴c≤1，
∴c=1
∴f（x）=x²-x+1；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，不等式f（x）＞2x+m恒成立，
∴m＜x²-3x+1，
∵y=x²-3x+1的對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∴y=x²-3x+1在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴y_min=1-3+1=-1，
∴m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)解析式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)恒成立條件的靈活運(yùn)用．