Question

如圖，已知拋物線P：y²=x，直線AB與拋物線P交于A，B兩點(diǎn)，OA⊥OB，，OC與AB交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求四邊形AOBC的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）設(shè)，由，OC與AB交于點(diǎn)M．可知：M是線段AB的中點(diǎn)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，①．②由OA⊥OB，利用數(shù)量積得．得到．依題意知y₁y₂≠0，得到y(tǒng)₁y₂=-1．③
把②、③代入①即可得到軌跡方程；
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為====．
再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：（1）依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為．故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為．把直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用，即可得到線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)即可得出軌跡方程．
（2）依題意得四邊形AOBC是矩形，可得四邊形AOBC的面積為==，利用基本不等式即可得出．
解答：解法一：
（1）解：設(shè)，
∵，OC與AB交于點(diǎn)M．
∴M是線段AB的中點(diǎn)．
∴，①．②
∵OA⊥OB，∴．
∴．
依題意知y₁y₂≠0，
∴y₁y₂=-1．③
把②、③代入①得：，即．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為====．
∵，當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|時(shí)，等號成立，
∴．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．
解法二：
（1）解：依題意，知直線OA，OB的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，
由于OA⊥OB，則直線OB的斜率為．
故直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為．
由消去y，得k²x²-x=0．
解得x=0或．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
同理得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（k²，-k）．
∵，
∴M是線段AB的中點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則，消去k，得．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為．
（2）解：依題意得四邊形AOBC是矩形，
∴四邊形AOBC的面積為===2．
當(dāng)且僅當(dāng)，即k²=1時(shí)，等號成立．
∴四邊形AOBC的面積的最小值為2．
點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線、求曲線的軌跡、均值不等式、向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及意義等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識．