Question

廣東某品牌玩具企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐州市場(chǎng)，在歐債危機(jī)的影響下，歐州市場(chǎng)的銷量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開(kāi)拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，主動(dòng)投入內(nèi)銷產(chǎn)品的研制開(kāi)發(fā)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模，自2010年9月以來(lái)的第n個(gè)月（2010年9月為每一個(gè)月），產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（內(nèi)銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位萬(wàn)件），分析銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷趨勢(shì)：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b為常數(shù)），且a₁＝1萬(wàn)件，a₂＝1.5萬(wàn)件，a₃＝1.875萬(wàn)件.
（1）求a,b的值，并寫(xiě)出a_n＋1與a_n滿足的關(guān)系式；
（2）如果該企業(yè)產(chǎn)品的銷售總量a_n呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，且控制在2萬(wàn)件以內(nèi)，企業(yè)的運(yùn)作正常且不會(huì)出現(xiàn)資金危機(jī)；試證明：a_n＜a_n＋1＜2.
（3）試求從2010年9月份以來(lái)的第n個(gè)月的銷售總量a_n關(guān)于n的表達(dá)式.

Answer 1

解：（1）依題意：a_n＋1＝b_n＋1＋c_n＋1＝aa_n＋a_n＋ba，
又a₂＝aa₁＋a₁＋ba，∴a＋1＋b＝……………………①
又a₃＝aa₂＋a₂＋ba，∴…………②
解①②得a＝1，b＝－從而a_n＋1＝2a_n－a(n∈N^*)……………………………（4分）
（2）證法（Ⅰ）由于a_n＋1＝2a_n－a＝－(a_n－2)²＋2≤2.
但a_n＋1≠2，否則可推得a₁＝2與a₁＝1矛盾.故a_n＋1＜2，于是a_n＜2，
又a_n＋1－a_n＝－a＋2a_n－a_n＝－a_n(a_n－2)＞0，
所以a_n＋1＞a_n，從而a_n＜a_n＋1＜2.……………………………………………………（9分）
方法（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法
（�。┊�(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝1，a₂＝1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假設(shè)n＝k時(shí)，a_k＜a_k＋1＜2成立.
由于函數(shù)f(x)＝－x²＋2x＝－(x－2)²＋2在［0,2］上為增函數(shù)，
則f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(2)即a_k(4－a_k)＜a_k＋1(4－a_k＋1)＜×2×(4－2)
即a_k＋1＜a_k＋2＜2成立.綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n＋1＜2.………………………………（9分）
（3）由a_n＋1＝2a_n－a得2(a_n＋1－2)＝－(a_n－2)²，即(2－a_n＋1)＝(2－a_n)²，
又由（2）知a_n＜a_n＋1＜2，可知2－a_n＋1＞0，2－a_n＞0，
則lg(2－a_n＋1)＝2lg(2－a_n)－lg2，∴l(xiāng)g(2－a_n＋1)－lg2＝2［lg(2－a_n)－lg2］
即{lg(2－a_n＋1)－lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為lg(2－a₁)－lg2＝－lg2
故lg(2－a_n)－lg2＝(－lg2)·2^n－1，∴a_n＝2－(n∈N^*)為所求.……………（13分）

略