Question

一束光線(xiàn)從點(diǎn)F₁(－1，0)出發(fā)，經(jīng)直線(xiàn)l：2x－y＋3＝0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F₂(1，0)．

(Ⅰ)求點(diǎn)F₁關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅱ)求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的方程；

(Ⅲ)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C的兩條準(zhǔn)線(xiàn)分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到F₂的距離與到橢圓C右準(zhǔn)線(xiàn)的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)的坐標(biāo)為，則且．……2分 　　解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為．…………………4分 　　(Ⅱ)，根據(jù)橢圓定義， 　　得，……………5分 　　，． 　　∴所求橢圓方程為．………………………………7分 　　(Ⅲ)，橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．…………………………8分 　　設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)的距離． 　　則，． 　　，……………………………10分 　　令，則， 　　當(dāng)，，，． 　　∴在時(shí)取得最小值．………………………………13分 　　因此，最小值＝，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．…………14分 　　注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得． 　　說(shuō)明：求得的點(diǎn)即為切點(diǎn)，的最小值即為橢圓的離心率．