Question

【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個(gè)球體和一個(gè)正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個(gè)球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個(gè)正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.

（1）當(dāng)時(shí)，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對(duì)于給定的和，求手工作品體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得第I圓柱和第II圓柱高相等為4，等于圓柱底面直徑，第I圓柱的球體最大直徑為4，再由條件可求出正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，從而求出體積，即可求解；

（2）設(shè)第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，求出正四棱柱體積為，而球半徑為與較小值，對(duì)分類討論，當(dāng)是，球的半徑為，體積定值，只需求最大值即可；當(dāng)，球最大半徑為，求出球的體積與正四棱柱體積和，通過(guò)求導(dǎo)，求出最大值，對(duì)比兩個(gè)范圍的最大值，即可求解.

（1）因?yàn)榈?/span>I圓柱和第II圓柱的體積一樣大，

所以它們的高一樣，可設(shè)為

第I圓柱的球體直徑不超過(guò)和

因此第I圓柱內(nèi)的最大球體半徑即為

球體體積

因?yàn)檎�四棱柱的底面正方形�?nèi)接于半徑為的圓

所以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為

正四棱柱體積，

手工作業(yè)的體積為.

（2）設(shè)第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，

①當(dāng)時(shí)，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應(yīng)不超過(guò)和，

故球體的最大半徑應(yīng)為

由（1）可知，此時(shí)第II圓柱內(nèi)的正四棱柱底面積為，

故當(dāng)時(shí)，最大為，

手工作品的體積最大值為.

②當(dāng)時(shí)，第I圓柱內(nèi)的球體直徑應(yīng)不超過(guò)和，

故球體的最大直徑應(yīng)為，

球體體積，

正四棱柱體積

所以手工作品的體積為.

.

令

	遞減	極小	遞增

，

因?yàn)?/span>，

所以

所以當(dāng)時(shí)，

手工作品的體積最大值為