Question

已知函數f（x）=

ax+1

ax-1

（a＞1）
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求a=2，x∈[1，2]時，求f（x）的值域；
（Ⅲ）解不等式f（x）≥2．

Answer 1

考點：指數函數綜合題,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）當a=2，x∈[1，2]時，利用指數函數的單調性即可求f（x）的值域；
（Ⅲ）討論x的取值范圍，即可解不等式f（x）≥2．

解答： 解（1）要使函數有意義，則a^x-1≠0，則x≠0，即函數定義域關于原點對稱．
∴f（-x）=

a-x+1

a-x-1

=

1+ax

1-ax

=-=

ax+1

ax-1

=-f（x），
即函數f（x）是奇函數．
（2）當a=2時，f（x）=

ax+1

ax-1

=

2x+1

2x-1

=

2x-1+2

2x-1

=1+

2

2x-1

，
∵x∈[1，2]，
∴1≤2^x-1≤3，
即

2

3

≤

2

2x-1

≤2，
即

5

3

≤1+

2

2x-1

≤3，
即函數f（x）的值域是[

5

3

，3]．
（3）由f（x）≥2．
得f（x）=

ax+1

ax-1

≥2，
當x＞0時，等價為a^x+1≥2（a^x-1），
即a^x≤3，解得0＜x≤log_a3．
若x＜0，不等式等價為a^x+1≤2（a^x-1），
此時a^x≥3此時不成立，
故不等式的解集為（0，log_a3]．

點評：本題主要考查指數函數的基本運算和單調性性質，考查學生的運算能力．