定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象上兩點A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量
.
ON
=λ
.
OA
+（1-λ）
.
OB
，若不等式|MN|≤k對任意λ∈[0，1]恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x-
1
x
在[1，3]上“k階線性近似”，則實數(shù)的k取值范圍為（　�。�
A、[0，+∞）
B、[
1
12
，+∞）
C、[
4
3
-
2
3
3
，+∞）
D、[
4
3
+
2
3
3
，+∞）
分析：利用新定義“k階線性近似”，向量的線性運算和模的計算公式、基本不等式即可得出．
解答：解：∵函數(shù)y=x-
1
x
的定義域為[1，3]．
∴A（1，0），B（3，
8
3
）．
xM=λ×1+（1-λ）×3=3-2λ，yM=3-2λ-
1
3-2λ
，∴M(3-2λ，3-2λ-
1
3-2λ
)（λ∈[0，1]）．
∴向量
.
ON
=λ
.
OA
+（1-λ）
.
OB
=λ(1，0)+(1-λ)(3，
8
3
)=(3-2λ，
8(1-λ)
3
)．
∴
MN
=
ON
-
OM
=(3-2λ，3-2λ-
1
3-2λ
)-(3-2λ，
8(1-λ)
3
)=(0，
1
3
+
2λ
3
-
1
3-2λ
)．
∴|
MN
|=
(
1
3
+
2λ
3
-
1
3-2λ
)2
=|
4
3
-(
3-2λ
3
+
1
3-2λ
)|≤
4
3
-
2
3
3
．當(dāng)且僅當(dāng)λ=
3-
3
2
時取等號．
∵不等式|MN|≤k對任意λ∈[0，1]恒成立，∴k≥
4
3
-
2
3
3
．
∴實數(shù)的k取值范圍為[
4
3
-
2
3
3
，+∞）．
故選：C．
點評：本題考查了新定義“k階線性近似”，向量的線性運算和模的計算公式、基本不等式，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了計算能力，屬于難題．
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ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
，若不等式|
MN
|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x-
1
x
在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�
A、[0，+∞）
B、[
1
12
，+∞)
C、[
3
2
+
2
，+∞)
D、[
3
2
-
2
，+∞)

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定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
，若不等式|
MN
|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x-
1
x
在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為
k≥
3
2
-
2
k≥
3
2
-
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)一模）定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A，B，向量
ON
=λ 
OA
+(1-λ) 
OB
，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λ
a
+（1-λ）
b
，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上滿足“k范圍線性近似”，其中最小的正實數(shù)k稱為該函數(shù)的線性近似閥值．下列定義在[1，2]上函數(shù)中，線性近似閥值最小的是（　�。�

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定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為    ．

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