已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過點A（2，0）作弦PA⊥QA，P、Q均在橢圓上，試問直線PQ是否經(jīng)過一定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：對于是否過x軸上的一定點問題，可先假設(shè)存在，設(shè)直線AP的斜率為k，則AP：y=k（x-2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得P點的坐標，從而解決問題．
解答： 解：設(shè)直線AP的斜率為k，則AP：y=k（x-2），
與橢圓方程
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立，化簡得：（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．
∵此方程有一根為2，∴xP=
8k2
3+4k2
，yP=
-6k
3+4k2

同理可得xQ=
8
4+3k2
，yQ=
6k
4+3k2
．
∴kPQ=
7k
4(1-k2)

∴直線PQ：y-
6k
4+3k2
=
7k
4(1-k2)
（x-
8
4+3k2
），
化簡可得：y=
k
4(1-k2)
(7x-8)，
令y=0，可得x=
8
7
，
∴直線MN過x軸上的一定點（
8
7
，0）．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用、直線過定點問題．考查推理能力和運算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+α），且f（2012）=3，則f（2013）=（　�。�
A、4B、-3C、3D、-4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tan2α=
4
3
，α∈（-
π
2
，0），則
cos2α
cos(
π
4
+α)sin(
π
4
-α)
的值為（　�。�
A、-
2
3
B、
2
3
C、-
1
3
D、
1
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+lnx．求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-2(a+2)lnx+ax，a∈R
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）是否存在實數(shù)a，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞a恒成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}，若A∩B=[0，3]，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
3x+a
x-2
，（a為常數(shù)，且a∈R）
（1）若a=1，求f（x）在區(qū)間[-3，-2]上的最大值和最小值
（2）若f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a∈R），已知曲線y=f（x）在點M（-1，f（-1））處的切線方程是y=4x+3．
（Ⅰ）求a，b的值；并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的一段圖象如圖所示． 
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時x的集合；
（3）把f（x）的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案