Question

設(shè)集合A={x|x²-|x+a|+2a＜0，a∈R}，B={x|x＜2}．若A≠∅且A⊆B，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計算題,集合

分析：構(gòu)造二次函數(shù)f（x）=x²-|x+a|+2a，去絕對值，由A≠∅，考慮函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，根據(jù)判別式大于0，求出a的范圍，注意討論a≥

1

4

的情況，根據(jù)A⊆B，說明f（x）＜0的解都小于2，從而f（2）≥0，解出a的范圍，最后求交集即可．

解答： 解：令f（x）=x²-|x+a|+2a，則
f（x）=

x2-x+a，x≥-a x2+x+3a，x＜-a

，
∵A≠∅，
∴f（x）的圖象與x軸有兩個交點，
∴當(dāng)x≥-a時，△₁＞0，
即1-4a＞0，
∴a＜

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，
當(dāng)a=

1

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時，f（x）的圖象與x軸相切，且開口向上，應(yīng)舍去，
當(dāng)a＞

1

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時，△₁＜0，即x≥-a時的圖象與x軸無交點，
x＜-a時，△₂=1-12a＜1-3，即△₂＜0，即此時的圖象與x軸也無交點，
∴A≠∅有a＜

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成立，
又∵A⊆B，
∴不等式x²-|x+a|+2a＜0的解均小于2，
即2²-|2+a|+2a≥0，
∴|2+a|≤2（2+a），
若a＜-2，上式顯然不成立，
若a≥-2，則上式化為1≤2，成立，
∴上式的解為a≥-2，
從而a的取值范圍是[-2，

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）．
故答案為：[-2，

1

4

）．

點評：本題主要考查集合的包含關(guān)系及應(yīng)用，考查空集的概念和帶絕對值不等式的解法，掌握基本的去絕對值的方法：符號法，同時考查構(gòu)造函數(shù)的能力．