Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x

ex

(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最大值；
（2）由?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立，可知?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=2|lnx-ln2|-f(x)=2|lnx-ln2|-

x

ex

，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求最值，即可求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=

1-x

ex

由f'（x）=0，解得x=1
當(dāng)x＜1，時f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1，時f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），其最大值為f(1)=

1

e

（2）由?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|≥f（x）+c恒成立
可知?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c恒成立
令g(x)=2|lnx-ln2|-f(x)=2|lnx-ln2|-

x

ex

①當(dāng)x＞2時g(x)=2(lnx-ln2)-

x

ex

所以g′(x)=

2

x

-

1-x

ex

=

2ex+x(x-1)

xex

＞0
因此g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增
②當(dāng)0＜x＜2時g(x)=2(ln2-lnx)-

x

ex

所以g′(x)=-

2

x

-

1-x

ex

=-

2ex+x(1-x)

xex

因為0＜x＜2，所以2ex＞2，x(1-x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

∈(-2，

1

4

)
所以2e^x+x（1-x）＞0，
所以g′（x）＜0，
因此g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減
綜上①②可知g(x)在x=2時取得最小值g(2)=-

2

e2

因為?x∈（0，+∞），2|lnx-ln2|-f（x）≥c即g（x）≥c恒成立
所以c≤-

2

e2

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)，求最值是關(guān)鍵．