Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式．

Answer 1

解（I）∵f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5）
∴可設(shè)f（x）=Ax（x-5）（A＞0），（2分）
∴f（x）的對稱軸為且開口向上．
∴f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是f（-1）=6A=12．∴A=2．
∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．（4分）
（Ⅱ）由已知有．
∴x（x-5）（ax+5）＞0．
又a＜0，∴．（6分）
（i）若-1＜a＜0，則，∴x＜0或．（8分）
（ii）若a=-1，則x＜0．（9分）
（iii）若a＜-1，則，
∴x＜0或．（11分）
綜上知：
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解集為{x|x＜0}；
當(dāng)a＜-1時(shí)，原不等式的解集為．（12分）
分析：（Ⅰ）先根據(jù)f（x）＜0的解集是（0，5）設(shè)f（x）=Ax（x-5）（A＞0），再結(jié)合在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12求出A．即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）先把不等式轉(zhuǎn)化；進(jìn)而得到x（x-5）（ax+5）＞0；再通過討論幾個(gè)根的大小即可得到不等式的解集．
點(diǎn)評：本題考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是基礎(chǔ)題．一元二次不等式的解集的區(qū)間端點(diǎn)值為對應(yīng)方程的根．