Question

15．設命題p：f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{a{x^2}-ax+1}}}$的定義域為R；命題q：不等式3^x-9^x＜a-1對一切正實數(shù)x均成立．
（1）如果命題p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果命題p且q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如果命題p是真命題，則a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果命題p且q為真命題，則命題p，q均為真命題，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵命題p是真命題，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，4），
（2）若命題q：不等式3^x-9^x＜a-1對一切正實數(shù)x均成立為真命題，
則a＞3^x-9^x+1，令t=3^x，y=-t²+t+1，
則當t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取最大值$\frac{5}{4}$，
故a＞$\frac{5}{4}$，
如果命題p且q為真命題，則命題p，q均為真命題，
∴a∈（$\frac{5}{4}$，4）．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數(shù)的定義域，函數(shù)恒成立等知識點，難度中檔．