Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{sin（\frac{π}{2}+x）sin（\frac{π}{2}-x）}$．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）若f（a）=$\frac{5}{2}$，且a∈（0，$\frac{π}{2}$），求a得值．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再得到f（-x）=f（x），結(jié)合偶函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（2）若f（a）=$\frac{si{n}^{4}a+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，則cos²α=$\frac{1}{2}$，結(jié)合a∈（0，$\frac{π}{2}$），可得a得值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{sin（\frac{π}{2}+x）sin（\frac{π}{2}-x）}$=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{{cos}^{2}x}$的定義域?yàn)閧x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=$\frac{si{n}^{4}（-x）+co{s}^{4}（-x）}{{cos}^{2}（-x）}$=$\frac{si{n}^{4}x+co{s}^{4}x}{{cos}^{2}x}$=f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）若f（a）=$\frac{si{n}^{4}a+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，
則$\frac{（1-{cos}^{2}a）^{2}+co{s}^{4}a}{{cos}^{2}a}$=$\frac{5}{2}$，
解得：cos²α=$\frac{1}{2}$，或cos²α=2（舍去），
又∵a∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosa=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\frac{π}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，難度中檔．