Question

已知x₁，x₂，…x_n∈R₊，且x₁x₂…x_n=1，求證：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_n）≥（

2

+1）ⁿ．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明n=1時，不等式成立，再假設(shè)n=k時，不等式成立，進而證明出n=k+1時，不等式成立即可．

解答： 證明：（�。┊�(dāng)n=1時，

2

+x₁=

2

+1，不等式成立．
（ⅱ）假設(shè)n=k時不等式成立，即：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_k）≥（

2

+1）^k成立．
則n=k+1時，若x_k+1=1，則命題成立；若x_k+1＞1，則x₁，x₂，…，x_k中必存在一個數(shù)小于1，
不妨設(shè)這個數(shù)為x_k，從而（x_k-1）（x_k+1-1）＜0，即x_k+x_k+1＞1+x_kx_k+1．
x_k+1＜1同理可得，
所以（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_k+1）=（

2

+x₁）（

2

+x₂）…[2+

2

（x_k+x_k+1）+x_kx_k+1]≥
（

2

+x₁）（

2

+x₂）…[2+

2

（1+x_k+1）+x_kx_k+1]≥（

2

+1）^k（

2

+1）=（

2

+1）^k+1，
故n=k+1時，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．