Question

已知函數(shù)f（x）=3^x的反函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（18，a+2），設(shè)g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[-1，1]，
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）=m有解，求m的取值范圍；
（3）對于任意的n∈R，試討論方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系可得a=log₃2，從而可求得g（x）的解析式；
（2）由g（x）=2^x-4^x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[-1，1]，可求得g（x）∈[-2，

1

4

]，方程g（x）=m有解，從而可得m的取值范圍為[-2，

1

4

]；
（3）由h（x）=g（|x|）+2^|x|+1=2^|x|-4^|x|+2^|x|+1=3•2^|x|-4^|x|可知，h（x）為偶函數(shù)，令2^x=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，1≤t≤2，則y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

（1≤t≤2），利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求得t=

3

2

（即x=log₂3-1）時(shí)，y_max=

9

4

，t=1或t=2（即x=0或x=1）時(shí)，y_min=2，于是可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x的反函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（18，a+2），
∴3^a+2=18，解得：a=log₃2；
∴g（x）=3^ax-4^x=3xlog32-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]；
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
又x∈[-1，1]，
∴

1

2

≤2^x≤2，0≤2^x-

1

2

≤

3

2

，
∴0≤(2x-

1

2

)2≤

9

4

，
∴g（x）∈[-2，

1

4

]，
∵方程g（x）=m有解，∴m的取值范圍為[-2，

1

4

]；
（3）由h（x）=g（|x|）+2^|x|+1=2^|x|-4^|x|+2^|x|+1=3•2^|x|-4^|x|可知，h（x）為偶函數(shù)，在[0，1]上，h（x）=3•2^x-4^x，
令2^x=t（1≤t≤2），則y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

（1≤t≤2），

顯然，y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

在區(qū)間[1，

3

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

3

2

，2]上單調(diào)遞減，
∴t=

3

2

（x=log₂3-1）時(shí)，y_max=

9

4

；
又t=1（即x=0）時(shí)，y=2，當(dāng)t=2（即x=1）時(shí)，y=2，
∴t=1或t=2（即x=0或x=1）時(shí)，y_min=2．
又n∈R，∴當(dāng)n＞

9

4

或n＜2時(shí)，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的個(gè)數(shù)為0個(gè)；
當(dāng)n=

9

4

時(shí)，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
當(dāng)n=2時(shí)，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
當(dāng)2＜n＜

9

4

時(shí)，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的個(gè)數(shù)為4個(gè)；

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用，著重考查函數(shù)與其反函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查方程解的情況，屬于難題．