已知實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d其中a、b、c、d是實數(shù).

（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f(0)=-7,f′(0)=-18，求函數(shù)f(x)的表達式；

（2）若a、b、c滿足b2-3ac＜0,求證：函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).

解：（1）∵f(0)=-7,∴d=-7,

f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(0)=-18,∴c=-18，

∴f′(x)=3ax2+2bx-18.

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，

∴-1和3必是f′(x)=0的兩個根.

∴解得

∴f(x)=2x3-6x2-18x-7.

（2）f′(x)=3ax2+2bx+c,由條件b2-3ac＜0,可知a≠0,c≠0,

f′(x)為二次三項式，并且Δ=(2b)2-4(3ac)=4(b2-3ac)＜0,

∴當a＞0時，f′(x)＞0恒成立，此時函數(shù)f(x)是單調(diào)增函數(shù);

當a＜0時，f′(x)＜0恒成立，此時函數(shù)f(x)是單調(diào)減函數(shù)，

∴對任意給定的非零實數(shù)a，函數(shù)f(x)總是單調(diào)函數(shù).

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是實數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若a，b，c滿足b2-3ac＜0，求證：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數(shù)f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＜x+1的解集為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在正實數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）滿足：①對任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②當x＞1時，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）證明函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)減函數(shù)
（3）若集合A={（p，q）|f（p2+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（
p
q
）+
1
2
=0，p，q∈R+}，問是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在則說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d是實數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，3）上是減函數(shù)，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）若a、b、c滿足b2＜3ac，求證：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)．

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